a écrit :
Mais cela m'évoque une autre question : Dès qu'il y a période (ou séquence qui se répète) dans un nombre, cela prouve-t-il l'absence de hasard ?
Tout d'abord, une petite remarque technique: un nombre dont l'écriture décimale (celle usuelle, avec une virgule quelque part) est périodique à partir d'un certain endroit (comme 2,3456767676767...) est un nombre rationel (la division d'un entier par un autre).
Ensuite, le hasard, on ne sait pas bien ce que c'est. Alors, pour prouver quoi que ce soit, on est bien marris. Tout ce qu'on peut faire, c'est un peu ce que disait Apfel. On peut voir si notre nombre "ressemble" à du hasard. Et par "ressembler", on entend souvent la chose suivante: on considère généralement que si je tire une suite (disons de 0 et de 1 pour faire simple) au hasard, la moyenne de ces nombres sera "proche" de 1/2. Si je prends donc une suite de 0 et de 1 dont la moyenne n'est pas du tout proche de 1/2 (comme la suite 1111111), je vais dire qu'elle ne ressemble pas du tout au "hasard". Evidemment, plus la suite est longue, plus ce genre de critère de "ressemblance" est censé être frappant. Il y a des tas d'autres indicateurs que la moyenne, mais c'est le même principe.
Sur l'exemple des décimales de Pi, on peut regarder la fréquence d'apparition de chaque chiffre (par exemple la proportion de 0 sur les 1000 premières décimales). Si c'est proche de 1/10, on trouve que ça ressemble fortement au hasard. Il se trouve que pour le nombre Pi, bien qu'on connaisse très bien des tas d'algorithmes pour générer successivement les décimales, les indicateurs que l'on teste (à ma connaissance) nous montrent qu'il ressemble au "hasard". C'est énervant.