http://www.forumamislo.net

a écrit :
Lorsqu'on manipule les x d’une équation, d'une inéquation ou d'un système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu. Parfois, on arrive à la conclusion qu'un nombre satisfaisant les équations considérées n’existe pas ; prenons un exemple simple, qui va nous servir de fil conducteur : x2 + 1 = 0 ; on a donc manipulé un objet inexistant, « imaginaire ». On l’a additionné, multiplié… bien qu’il n’existe pas dans les nombres réels. On a donc parlé d'un nombre imaginaire.

Ce nombre imaginaire était censé, dans notre exemple, être l’une des deux solutions (on vérifie que, s’il y en a une, son opposé en est une aussi) d’une équation dont on sait qu’elle n’a pas de racine réelle :

    x2 + 1 = 0 (1)

Donnons un nom à une solution, pour le moment imaginaire : on l'appelle i pour « imaginaire ».(Historiquement, i est l’initiale du mot « impossible » et non pas «imaginaire»)

Or, dans les calculs des algébristes italiens sur la résolution de l’équation du troisième degré ( Théorème de Cardan ), ce nombre s’élimine parfois à la fin, il n’apparaît pas dans le résultat final ; il n'aura été qu'un intermédiaire de calcul, un « catalyseur », un x manipulé comme tant d’autres. Cependant, dans d'autres cas, il subsiste : on obtient alors des expressions construites à partir de i par des additions, des multiplications avec des nombres réels, ainsi que des racines, carrées ou cubiques. Que faire de ces expressions, qui ne sont pas des nombres réels, mais semblent par ailleurs fournir des solutions, satisfaisantes du point de vue des calculs, aux équations considérées ? Peut-être les considérer comme des nouveaux nombres, non réels, imaginaires, mais d'un certain point de vue aussi valides que les nombres réels.

Cela semble suggérer de renoncer à une relation simple avec le réel :

    * un nombre entier peut représenter des objets distincts (des carottes, des tomates),
    * un nombre réel peut représenter les dimensions d’un objet (par exemple la diagonale d’un carré),
    * le nombre i ne représente pas directement de quantité physique « simple ».

Mais le problème se présentait déjà avec les nombres entiers négatifs ou fractionnaires : on ne peut certes pas « avoir -2 carottes » ni « creuser un demi-trou ». En d’autres termes, différents types de nombres s’appliquent bien ou mal au monde de différents types de problèmes que nous désirons traiter. À ce titre, i n’est en fait ni plus ni moins imaginaire (au sens courant du terme, cette fois-ci) que -2, 1/2 ou racine de 2.

Le fait que l’on ne puisse pas associer aux nombres complexes d’intuition concrète aussi évidente que celle des entiers naturels ou des réels n’est pas gênante pour la théorie mathématique ­- bien qu’elle ait posé des problèmes conceptuels aux mathématiciens il y a plusieurs siècles. En effet, il est tout à fait possible de définir rigoureusement les opérations sur les nombres complexes en fonction des opérations sur les nombres réels sans devoir faire référence à une quelconque intuition.

Notons toutefois que les nombres complexes ont une utilisation en géométrie plane, et qu’ainsi on peut leur associer des concepts géométriques comme celui de point ou de vecteur du plan, ou encore les similitudes directes (les transformations géométriques qui conservent les angles, mais peuvent modifier les distances d’un certain facteur, et conservent l’orientation des figures)..

(LouisChristianRené @ mercredi 11 octobre 2006 à 22:16 a écrit : Sans doute parce qu'elle réussi a relier de façon simple trois "nombres" remarquables des mathématiques

quatre

---

Publié : 11 Oct 2006, 22:05

par Louis

je sens que je vais encore me faire accuser de "relancer" et d'etre "provocateur"

mais là il y en a trois ! e, pi et 1

Ou vois tu un autre nombre ??? i là n'est pas un nombre, il sert uniquement a signaler qu'on est pas dans l'ensemble R des reel mais C des complexes...

---

Publié : 11 Oct 2006, 22:06

par Sterd

(LouisChristianRené @ mercredi 11 octobre 2006 à 23:05 a écrit : je sens que je vais encore me faire accuser de "relancer" et d'etre "provocateur"

mais là il y en a trois ! e, pi et 1

Ou vois tu un autre nombre ??? i là n'est pas un nombre, il sert uniquement a signaler qu'on est pas dans l'ensemble R des reel mais C des complexes...

et le zéro ?

---

Publié : 11 Oct 2006, 22:07

par zeanticpe

(LouisChristianRené @ mercredi 11 octobre 2006 à 23:05 a écrit : je sens que je vais encore me faire accuser de "relancer" et d'etre "provocateur"

mais là il y en a trois ! e, pi et 1

Ou vois tu un autre nombre ??? i là n'est pas un nombre, il sert uniquement a signaler qu'on est pas dans l'ensemble R des reel mais C des complexes...

et pis! ?
non c est de l humour j ai toujours pa pige sinon.mais je reviendrai. :wavey:

---

Publié : 11 Oct 2006, 23:16

par Matrok

(LouisChristianRené @ mercredi 11 octobre 2006 à 23:05 a écrit : je sens que je vais encore me faire accuser de "relancer" et d'etre "provocateur"

mais là il y en a trois ! e, pi et 1

Ou vois tu un autre nombre ???

Relis bien l'expression :

e^(i*pi) + 1 = 0

Moi je vois 5 nombres, et ils sont tous "remarquables" à leur manière...

a écrit :i là n'est pas un nombre, il sert uniquement a signaler qu'on est pas dans l'ensemble R des reel mais C des complexes...

i est un nombre complexe. Ce n'en est pas moins un nombre...

La notion de "nombre" n'est pas aussi immédiate qu'il n'y paraît, et a toute une histoire. On sait que les premiers "nombres" découverts furent ce qu'on appelle aujourd'hui les entiers naturels. C'est déja une construction intellectuelle, une abstraction, d'utiliser le même mot "onze" pour désigner onze pommes ou une longueur de onze pieds...

Assez vite, les "fractions" (c'est à dire les rapports de deux entiers) sont apparues. On appelle aujourd'hui ces nombres les "rationels". Evidemment dans l'antiquité, seuls les rationels positifs et non nuls étaient connus...

Les grecs découvrirent ensuite qu'il existaient des quantités qui ne pouvaient pas s'écrire comme fraction de deux entiers. Typiquement : la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1. On appelle aujourd'hui ce nombre "racine carrée de 2", et il est très facile de prouver qu'il ne peut pas s'écrire comme une fraction de deux entiers. Ces nombres qui ne peuvent pas s'écrire comme fraction de deux entiers, on les appelle encore aujourd'hui "nombres irrationnels" ! Et la réunion des deux ensembles (rationnels et irrationnels) s'appelle les "réels".

Plus tard la grande découverte fut le zéro, c'est à dire l'idée qu'on pouvait également inventer un nombre pour désigner la quantité nulle. Un pas de géant dans l'abstraction, et une clé pour des systèmes de numération comme le système arabe (celui qu'on utilise partout maintenant) qui simplifient énormément les calculs.

Ce n'est qu'au Moyen-Âge (d'abord dans le monde arabe) qu'on invente les nombres négatifs, ce qui constitue un pas de plus dans l'abstraction. On les définit comme les résultats de certaines soustractions dont pendant longtemps on a prétendu qu'elles étaient sans solution. De la même manière, en fait, qu'on avait inventé les rationnels pour résoudre les divisions et les irrationnels pour résoudre certains problèmes de géométrie notamment...

Arrivé à la renaissance, se pose le problème de résoudre des équations de degré supérieur à 1. Les solutions de l'équation de degré 2 étaient connues dans un certain nombre de cas notamment grace aux mathématiciens arabes, mais dans d'autres cas il semblait prouvé qu'elles n'admettaient pas de solution parmi les nombres "réels" connus à l'époque. Qu'à cela ne tienne, on inventa une nouvelle classe de nombres, les nombres "imaginaires purs", dont le carré est un réel négatif, et par la même occasion les nombres "complexes" qui sont la somme d'un réel et d'un imaginaire pur. L'invention des complexes tient en une phrase : "je définis le nombre i tel que i^2 = -1". Dès lors les nombres imaginaires purs peuvent s'écrire comme "a*i" avec a nombre réel, et les nombres complexes comme "a*i + b" avec a et b réels.

Dire que i n'est pas un nombre n'est aujourd'hui pas plus justifié que de dire que pi, ou e, ou racine de 2, ou -3, ou zéro, ne sont pas des nombres...

---

Publié : 11 Oct 2006, 23:17

par com_71

(LouisChristianRené @ mercredi 11 octobre 2006 à 22:16 a écrit :
ln (1) = e

non,

log(1)=0 mais log(e)=1

plus généralement si Y = e puissance x alors log(Y)= x

---

Publié : 11 Oct 2006, 23:30

par com_71

(Louis @ mercredi 11 octobre 2006 à 22:16 a écrit :

e est la "primitive" de la fonction 1/x - la valeur de la surface quand X varie de 0 a 1 est égale a ce fameux "e"

Mais non :

log(x) est la surface générée sous la courbe y=1/t quand t varie de 1 à x.

---

Le fuseau horaire est UTC [Heure d’été]
Page 1 sur 3

Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/