Publié : 02 Mai 2003, 22:42| CITATION |
| Je continue avec 8, puis 16, puis 32 demi cercles, jusqu'à ce qu'ils soient complètement confondus avec le diamètre du premier demi cercle. ce qui me permet d'affirmer avec force et conviction pi=2 (2 fois le rayon du premier demi cercle) Ou donc me suis-je trompé ? [/quote] Là c'est carrément vicieux... La succession de demi cercles n'est jamais confondue avec la droite : si on regarde avec une loupe on retombera a chaque fois sur des petits arcs de cercles. Le "jusqu'à ce qu'ils soient complètement confondu" est injustifiable logiquement. D'une façon plus "mathématique" : Soit p le périmetre à l'étape i A l'étape 1 le périmetre est égal à Pi : P[1] = Pi A l'étape 2 le périmetre est égal à Pi : P[2] = Pi : facile à prouver, c'est deux fois le précédent à l'échelle 1/2. On constate donc que pour i donné (on l'a vu pour i=1 ou 2), on a : A l'étape i le périmetre est égal à Pi : p = Pi Pour prouver que c'est valable pour tout i, il suffit de prouver que celà entraîne que p[i+1] = p... (raisonnement par récurrence). A l'étape i+1, le périmetre est égal à quoi ? tout simplement : on retombe sur la même situation qu'au premier coup, et on en déduit que p[i+1] = 2*p/2 = p La suite p[n] est une suite constante, elle tend donc vers sa valeur constante, à savoir Pi en l'occurence, ce qui s'écrit : lim[n -> + inf](p[n]) = Pi CQFD. |