(Jean-Claude @ vendredi 11 mai 2012 à 10:05 a écrit :Quelqu'un pourrait-il dire en très gros ce que sont les filtres? Si c'est faisable évidemment.
C'est difficile de donner des détails sans être trop formel. Mais disons qu'il y a deux notions fortement liées en mathématiques: la notion de limite, et la notion de continuité d'une fonction. Il y a une manière simple d'exprimer la continuité d'une fonction, qui utilise la notion de "topologie" (là aussi, il y a des axiomes, ...). Avoir une idée de cette notion est un préalable pour se faire une idée des filtres. Cela permet de parler de fonctions continues pour des fonctions sur des ensembles plus exotiques que les nombres réels. Mais pour les fonctions réelles (ou d'un espace métrique dans un autre, comme disait Pouchtaxi), on peut exprimer la continuité d'une fonction avec des limites. Dans le cadre plus général de la topologie, on ne peut plus. Il faut faire autre chose. Les filtres sont une manière de progresser dans ce sens.
(Pouchtaxi a écrit :
L'idée est de remplacer les suites qui jouent un rôle important dans les espaces métriques mais qui sont insuffisantes pour caractériser certaines propriétés dans les espaces topologiques quelconques. Henri Cartan exprime cela en disant qu'il fallait se libérer du dénombrable.
C'est amusant, mais à mon avis, la portée des filtres est beaucoup plus grande que cela, parce qu'ils fonctionnent aussi dans un cadre beaucoup plus large, celui des "topologies de Grothendieck", qui malgré leur nom, ne sont pas des topologies, mais quelque chose de plus général. Ces topologies de Grothendieck jouent un rôle fondamental dans une partie des maths très fructueuse. Mais ça nous emmène un peu loin.
Ce qui est remarquable, pour revenir aux filtres, c'est que cette notion, introduite au début surtout pour simplifier l'exposition, s'est révélée avoir un rôle beaucoup plus vaste que cela.