Jean-Marie Souriau

Et lutte contre les pseudo-sciences et les obscurantismes

Message par pouchtaxi » 11 Mai 2012, 10:24

(Jean-Claude @ vendredi 11 mai 2012 à 10:05 a écrit :Quelqu'un pourrait-il dire en très gros ce que sont les filtres? Si c'est faisable évidemment.

Je ne vais pas donner l'axiomatique ici. On la trouve partout.

L'idée est de remplacer les suites qui jouent un rôle important dans les espaces métriques mais qui sont insuffisantes pour caractériser certaines propriétés dans les espaces topologiques quelconques. Henri Cartan exprime cela en disant qu'il fallait se libérer du dénombrable.
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Message par pouchtaxi » 11 Mai 2012, 10:38

Au sujet du rapport Bourbaki/probabilité autant laisser la parole à Bourbaki « lui-même ».

On lit dans les « Eléments d’histoire des mathématiques » de Nicolas Bourbaki, à la page 297 :

(Il s’agit d’un extrait de la note historique incluse dans le dernier volume d’intégration du traité.)

a écrit :« C’est d’une toute autre direction que provient la nécessité d’élargir ce point de vue par la considération de mesures sur des espaces topologiques non localement compacts : peu à peu, le Calcul des Probabilités amène à l’étude de tels espaces et fournit de nombreux exemples non triviaux. Peut-être faut-il rechercher la raison de l’influence tardive de ces développements sur la théorie de la mesure dans l’isolement relatif du Calcul des Probabilités, resté en marge des disciplines mathématiques traditionnelles jusqu’à l’époque récente. »

.
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Message par Jean-Claude » 11 Mai 2012, 11:10

a écrit :L'idée est de remplacer les suites qui jouent un rôle important dans les espaces métriques mais qui sont insuffisantes pour caractériser certaines propriétés dans les espaces topologiques quelconques. Henri Cartan exprime cela en disant qu'il fallait se libérer du dénombrable.


Merci, je vais essayer de chercher à partir de ça pour tenter de comprendre en gros de quoi ça parle
Jean-Claude
 
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Message par Jean-Claude » 11 Mai 2012, 11:13

a écrit :QUOTE
« C’est d’une toute autre direction que provient la nécessité d’élargir ce point de vue par la considération de mesures sur des espaces topologiques non localement compacts : peu à peu, le Calcul des Probabilités amène à l’étude de tels espaces et fournit de nombreux exemples non triviaux. Peut-être faut-il rechercher la raison de l’influence tardive de ces développements sur la théorie de la mesure dans l’isolement relatif du Calcul des Probabilités, resté en marge des disciplines mathématiques traditionnelles jusqu’à l’époque récente. »


C'est bizarre dans le passage que tu cites, il ne semble pas du tout dire que théorie des probabilités n'aurait pas d'intérêt... au contraire.
Jean-Claude
 
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Message par shadoko » 11 Mai 2012, 19:34

(Jean-Claude @ vendredi 11 mai 2012 à 10:05 a écrit :Quelqu'un pourrait-il dire en très gros ce que sont les filtres? Si c'est faisable évidemment.

C'est difficile de donner des détails sans être trop formel. Mais disons qu'il y a deux notions fortement liées en mathématiques: la notion de limite, et la notion de continuité d'une fonction. Il y a une manière simple d'exprimer la continuité d'une fonction, qui utilise la notion de "topologie" (là aussi, il y a des axiomes, ...). Avoir une idée de cette notion est un préalable pour se faire une idée des filtres. Cela permet de parler de fonctions continues pour des fonctions sur des ensembles plus exotiques que les nombres réels. Mais pour les fonctions réelles (ou d'un espace métrique dans un autre, comme disait Pouchtaxi), on peut exprimer la continuité d'une fonction avec des limites. Dans le cadre plus général de la topologie, on ne peut plus. Il faut faire autre chose. Les filtres sont une manière de progresser dans ce sens.
(Pouchtaxi a écrit :
L'idée est de remplacer les suites qui jouent un rôle important dans les espaces métriques mais qui sont insuffisantes pour caractériser certaines propriétés dans les espaces topologiques quelconques. Henri Cartan exprime cela en disant qu'il fallait se libérer du dénombrable.

C'est amusant, mais à mon avis, la portée des filtres est beaucoup plus grande que cela, parce qu'ils fonctionnent aussi dans un cadre beaucoup plus large, celui des "topologies de Grothendieck", qui malgré leur nom, ne sont pas des topologies, mais quelque chose de plus général. Ces topologies de Grothendieck jouent un rôle fondamental dans une partie des maths très fructueuse. Mais ça nous emmène un peu loin.

Ce qui est remarquable, pour revenir aux filtres, c'est que cette notion, introduite au début surtout pour simplifier l'exposition, s'est révélée avoir un rôle beaucoup plus vaste que cela.
shadoko
 
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Message par Jean-Claude » 11 Mai 2012, 19:57

a écrit :Mais disons qu'il y a deux notions fortement liées en mathématiques: la notion de limite, et la notion de continuité d'une fonction. Il y a une manière simple d'exprimer la continuité d'une fonction, qui utilise la notion de "topologie" (là aussi, il y a des axiomes, ...). Avoir une idée de cette notion est un préalable pour se faire une idée des filtres. Cela permet de parler de fonctions continues pour des fonctions sur des ensembles plus exotiques que les nombres réels. Mais pour les fonctions réelles (ou d'un espace métrique dans un autre, comme disait Pouchtaxi), on peut exprimer la continuité d'une fonction avec des limites. Dans le cadre plus général de la topologie, on ne peut plus. Il faut faire autre chose. Les filtres sont une manière de progresser dans ce sens.


Merci. Oui ça m'éclaire un petit peu, car ça fait le lien avec des notions que j'ai vaguement vu. Dans wikipédia ils font aussi référence à la notion de voisinage, que j'avais un tout petit peu regardée à l'époque, et qui m'avait enthousiasmé.
Jean-Claude
 
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Message par pouchtaxi » 12 Mai 2012, 13:58

(Jean-Claude @ vendredi 11 mai 2012 à 11:13 a écrit :

C'est bizarre dans le passage que tu cites, il ne semble pas du tout dire que théorie des probabilités n'aurait pas d'intérêt... au contraire.



J'ai écrit "aversion" de certains bourbakistes pour les probabilités. Je n'ai aucune référence de bourbakiste ayant affirmé que les probas ne servaient à rien!



a écrit :C'est amusant, mais à mon avis, la portée des filtres est beaucoup plus grande que cela, parce qu'ils fonctionnent aussi dans un cadre beaucoup plus large, celui des "topologies de Grothendieck", qui malgré leur nom, ne sont pas des topologies, mais quelque chose de plus général. Ces topologies de Grothendieck jouent un rôle fondamental dans une partie des maths très fructueuse. Mais ça nous emmène un peu loin



La portée est grande c'est certain. Je voulais rester bref et non technique.
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Message par shadoko » 12 Mai 2012, 16:44

(Jean-Claude a écrit :
Dans wikipédia ils font aussi référence à la notion de voisinage, que j'avais un tout petit peu regardée à l'époque, et qui m'avait enthousiasmé.

La notion de voisinage est une des manières de définir une topologie: soit on donne les "voisinages" (qui vérifient certains axiomes), soit les "ouverts" (qui vérifient d'autres axiomes), c'est équivalent, on peut passer de l'un à l'autre.
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Message par com_71 » 05 Jan 2013, 20:14

L’intérêt ne pense pas, il calcule. Les motifs sont ses chiffres. K. Marx, « Débats sur la loi relative au vol de bois » 1842.
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