un petit problèmede math

[Jean-Claude]

Je sèche:
Deux gares G et G’ sont distantes de 300 km.
Au même instant :
 un train part de G et se dirige vers G’ à la vitesse constante de 80 km/h
 un train part de G’ et se dirige vers G à la vitesse constante de 120 km/h
 Super hirondelle part de G et vole vers G’ le long de la voie ferrée à la vitesse
constante de 240 km/h.
Quand elle rencontre le train venant de G’, elle fait demi-tour et repart vers G ;
Elle vole ainsi d’un train à l’autre jusqu’à ce que les deux trains se croisent.
Combien fait-elle d'allers retours?

[Jacquemart]

Quelle est la longueur de super hirondelle ?
Si elle est minuscule, elle en fera une infinité, non ? :huh:

[manitas]

L'hirodelle voyage bien d'un train à l'autre?

Dans ce cas elle fait une infinité d'aller-retour.

Montrons dans un premier temps qu'elle fait bien un nombre entier ou infini d'aller-retour, autrement dit que le jeu ne se termine pas par une fraction d'aller-retour pour l'hirondelle.

Cette proposition est vraie si et seulement si à la fin du jeu elle se situe au même endroit que le train venant de G.

L'hirondelle voyage entre les deux trains, elle si situe donc en chaque instant entre les deux trains.

A la fin du jeu, les deux trains se croisent, ils sont donc au même endroit, l'hirondelle est donc aussi en cette même position. En particulier elle est à la même position que le train venant de G à la fin du jeu: la proposition est vraie.

Maintenant, supposons par l'absurde que l'hirondelle fait un nombre fini d'aller-retour. Prenons le dernier aller-retour.

Il s'agit du dernier aller-retour donc normalement à la fin de celui-ci la distance entre les deux trains est nulle (sinon on serait bon pour un autre aller-retour).

On note L la distance entre les deux trains au moment où l'hirondelle commence son dernier aller-retour.

L'hirondelle va deux fois plus vite que le train venant de G', elle parcourt donc une distance 2 fois plus importante dans le même temps.

Donc si on note L' la distance parcourue par le train venant de G' entre le départ de l'hirondelle du train venant de G et sa rencontre avec l'hirondelle, on a:

L= L' (distance parcourue par le train venant de G') + 2*L' (distance parcourue par l'hirondelle)

L= 3*L' c'est-à-dire L' = L/3

Notons L'' la distance parcourue par le train venant de G pendant ce temps.

La vitesse du train venant de G est les 2/3 de celle du train venant de G', il parcourt donc les 2/3 de la distance parcourue par l'autre train pendant le même temps, donc

L'' = (2/3) * L' = (2/9) * L

Donc au moment de la rencontre entre l'hirondelle et le train venant de G' (fin de l'aller), la distance entre les deux trains est:

D = L-L'-L'' = L - (L/3) - (2/9) * L = L - (5/9)*L =(4/9)*L

A ce moment l'hirondelle entame son retour.

L'hirondelle va 3 fois plus vite que le train venant de G. Si on note D' la distance parcourue par le train venant de G entre le début et la fin du retour de l'hirondelle:

D = D' + 3*D' = 4*D' or D=(4/9)*L donc D'=L/9

Pendant ce temps l'autre train parcourt une distance D''.

La vitesse du train venant de G' est les 3/2 de celle du train venant de G, il parcourt donc les 3/2 de la distance parcourue par l'autre train pendant le même temps, donc

D'' = (3/2) * D' = (3/2) * L/9 = L/6

Donc à la fin du retour la distance entre les deux trains est:

D-D'-D''= (4/9)*L - L/9 - L/6 = L/6

Cette distance est non nulle, ce qui contredit l'hypothèse: absurde.

CQFD

[Jean-Claude]

Ok on change légèrement l'énoncé:
On suppose que l'hirondelle n'est pas réductible à un point: mettons qu'elle mesure 20 cm.
En fait je voudrais savoir comment on peut construire la suite qui donne les abscisses des différents point de rencontre de l'hirondelle avec les trains. Une suite qui convergerait vers l’abscisse du point de rencontre des deux trains.
Mon propos n'était pas d'étudier un paradoxe genre tortue d'achille

[shadoko]

Un grand classique ... mais avec une autre question. :-P

[shadoko]

Ah, je n'avais pas vu ton dernier message. D'abord, rallonger l'hirondelle ne change rien, c'est comme si on rallongeait un des trains, essentiellement. Je suppose donc, comme dans ton problème de départ, que l'hirondelle est ponctuelle (ce qui ne signifie pas qu'elle arrive à l'heure :hinhin: ).

Pour obtenir les abscisses, tu peux raisonner comme suit. Pour simplifier les calculs, je vais me placer dans le repère du premier train, mais ce n'est pas obligatoire, bien entendu. Les rencontres de l'hirondelle avec le premier train sont donc toujours à l'abscisse 0, et les rencontres avec le deuxième sont aux abscisses x_1, x_2, etc.

Je compte toutes les vitesses positivement, même si on va dans l'autre sens, je rajoute un signe dans les équations si besoin est.

v la vitesse de l'hirondelle quand elle va du premier train vers le deuxième. Ici, v=240-80=160, parce qu'on est dans le repère du premier train.

w la vitesse de l'hirondelle quand elle va dans l'autre sens, du deuxième train au premier. Ici, w=240+80 =320.

u la vitesse du deuxième train. Ici, u = 120 +80=200.

t_n le temps qui s'écoule entre le moment où l'hirondelle est au point x_n et le moment où elle est au point x_(n+1).

On exprime t_n en fonction de ce que fait l'hirondelle.

x_n/w + x_(n+1)/v = t_n
(le terme de gauche est la somme des temps de parcours du deuxième train au premier, et retour du premier train au deuxième.

On peut également l'exprimer en fonction de ce que fait le deuxième train:

(x_n- x_(n+1))/u = t_n.

On égalise les deux, ce qui permet d'exprimer x_(n+1) en fonction de x_n. On simplifie, et on trouve:

x_(n+1) = (v (w-u))/(w (v+u)) x_n = (1/6) x_n.

On a donc affaire à une suite géométrique de raison 1/6. On peut donc facilement donner une formule en fonction de n pour x_n. Le seul point qui n'est pas bien calculé est x_1. Faisons le rapidement, en calculant le temps de parcours entre le départ de l'hirondelle et le moment où elle atteint x_1, toujours de deux manières:

(d-x_1)/u = x_1/v

où d est la distance entre les deux gares. Autrement dit:

x_1= d v /(v+u) = 400/3 = 133,33...

Ensuite, x_n est donc donné par:

x_n = (1/6)^(n-1) . x_1.

Si tu veux les points dans le repère fixe avec la gare G en 0, par exemple, alors il te suffit de calculer t_n avec la formule qui le donne plus haut en fonction de x_n et x_(n+1), puis de calculer le temps T_n qui s'est écoulé avant la rencontre au point x_n, soit T_n = (x_1)/v + t_1+ ... t_(n-1). L'abscisse recherchée est alors 80 T_n + x_n. Note que tu peux avoir une formule en n pour T_n car on connaît la somme d'une série géométrique. J'ai un peu la flemme de l'écrire, mais je peux le faire si tu veux vraiment.

Si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, ça doit répondre à ta question. Non?

[Jean-Claude]

Si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, ça doit répondre à ta question. Non?

Super, tu y réponds parfaitement, merci beaucoup!

[titi]

vous êtes compliqués
relativement l'un à l'autre, les trains voyagent à 120+80 = 200km/h
comme ils sont distants de 300km, ils mettent 300/200 = 1h30 à se rejoindre
pendant cette 1h30, l'hirondelle qui vole à 240 km/h parcourra 1.5x240 = 360km

[Jacquemart]

Oui, c'est une super-réponse si seulement ça avait été ça la question... :hinhin:

[Bertrand]

L'hirondelle au printemps cherche les vieilles tours,
Débris où n'est plus l'homme, où la vie est toujours ;
La fauvette en avril cherche, ô ma bien-aimée,
La forêt sombre et fraîche et l'épaisse ramée,
La mousse, et, dans les noeuds des branches, les doux toits
Qu'en se superposant font les feuilles des bois.
Ainsi fait l'oiseau. Nous, nous cherchons, dans la ville,
Le coin désert, l'abri solitaire et tranquille,
Le seuil qui n'a pas d'yeux obliques et méchants,
La rue où les volets sont fermés ; dans les champs,
Nous cherchons le sentier du pâtre et du poëte ;
Dans les bois, la clairière inconnue et muette
Où le silence éteint les bruits lointains et sourds.
L'oiseau cache son nid, nous cachons nos amours.

V. Hugo