Complètement contre-intuitif

Et lutte contre les pseudo-sciences et les obscurantismes

Complètement contre-intuitif

Message par com_71 » 30 Sep 2017, 17:25

L'ensemble des entiers est infini. Infini dénombrable (on peut dire qu'il y a un 1er, un 2ème, etc.)
L'ensemble des entiers pairs est aussi infini. On pourrait être tenté de dire qu'il y en a 2 fois moins que de nombres entiers, mais ils sont dénombrables de la même façon (il y a bien un 1er, un 2ème, etc.). En ce sens les ensembles infinis dénombrables sont égaux.
Entre 2 entiers consécutifs ont peut trouver une infinité de nombres réels. Par ex. entre 3 et 4 : 3,010101... pi, racine de 13, etc. Pareils entre 2 réels distincts. Ca a été démontré. L'ensemble des nombres réels est donc continu, j'aurais dit aussi indénombrable. L'hypothèse du continu de Cantor consistait en la conjecture qu'on ne peut pas trouver un autre "type" d'infini entre dénombrable et continu.
Eh bien on apprend que la conjecture est démontrée, et que la démonstration implique que l'infini dénombrable et l'infini continu sont "égaux". Le continu serait donc dénombrable ? Ou la démonstration introduit d'autres concepts ?

http://www.slate.fr/story/151703/mathem ... xtor=RSS-2
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Re: Complètement contre-intuitif

Message par Zelda_Zbak » 30 Sep 2017, 19:11

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Re: Complètement contre-intuitif

Message par Bertrand » 30 Sep 2017, 19:22

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Re: Complètement contre-intuitif

Message par Plestin » 30 Sep 2017, 19:48

C'est quoi une pseudo-intersection ????
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Re: Complètement contre-intuitif

Message par com_71 » 30 Sep 2017, 20:36

wikipedia a écrit :In mathematical set theory, a pseudo-intersection of a family of sets is an infinite set S such that each element of the family contains all but a finite number of elements of S. The pseudo-intersection number, sometimes denoted by the fraktur letter p (en gothique), is the smallest size of a family of infinite subsets of the natural numbers that has the strong finite intersection property but has no pseudo-intersection.


Une pseudo-intersection d'une famille d'ensembles est un ensemble infini S tel que chaque élément [donc chaque ensemble] de la famille contienne tous les éléments de S, mais les contienne en nombre fini.
[contre-intuitif je vous dis, puisqu'à 1ère vue une pseudo-intersection ne peut exister mais attendons la suite :]

Le nombre de pseudo-intersection, parfois désigné par la lettre p, est la plus petite taille d'une famille de sous-ensembles infinis des nombres naturels ayant une propriété forte d'intersection finie, mais n'a pas de pseudo-intersection.

[Je suis largué : d'une part la dernière restriction n'a pas de sens pour moi, voir plus haut, et d'autre part tous les sous-ensembles infinis de l'ensemble des entiers naturels ont la taille du dénombrable... Bon d'accord, on ne peut pas en déduire rigoureusement que leur nombre s'inscrit dans une suite dénombrable de nombres...] Là est sans-doute la subtilité [euphémisme] de la démonstration, mais je croyais que celle-ci, d'après Cohen, ne pouvait pas s'énoncer en théorie des ensembles !!!
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Re: Complètement contre-intuitif

Message par Plestin » 30 Sep 2017, 20:42

gulp !
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Re: Complètement contre-intuitif

Message par com_71 » 30 Sep 2017, 20:55

Et je lis par ailleurs :
En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu attribuée au mathématicien allemand CANTOR Georg (1845-1918) peut s'énoncer sous cette forme :

Il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels.

CANTOR, considéré comme le fondateur de la théorie des ensembles, avait démontré (et publié en 1874) que le cardinal de l'ensemble des nombres réels était strictement plus grand que celui des nombres entiers. Il formula plus tard l'hypothèse du continu, et il tenta en vain de la démontrer.


Alors, strictement plus grand et égal à la fois ?
Soit le journaliste de Slate a mal présenté la chose, soit c'est une fake-news, soit je devrais faire autre chose que d'essayer de lire ces trucs.
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Re: Complètement contre-intuitif

Message par com_71 » 01 Oct 2017, 04:14

L'article de Quanta, reproduit dans scientific american, ne dit pas , contrairement à Slate qui l'a plus ou moins pompé, que les deux mathématiciens ont démontré l'Hypothèse du continu, celle-ci resterait une question ouverte.

https://www.quantamagazine.org/mathemat ... -20170912/

Ils ont quand même obtenu la médaille Hausdorff en juillet 2017.

https://ests.wordpress.com/2017/07/05/t ... edal-2017/

Il n'y a pas qu'en politique que Slate n'est pas digne de confiance.
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Re: Complètement contre-intuitif

Message par Plestin » 01 Oct 2017, 07:19

CQFD !
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Re: Complètement contre-intuitif

Message par titi » 01 Oct 2017, 11:58

salut com, je n'ai pas forcément compris ta question.

Cantor a montré que R est plus grand que N, et son hypothèse était qu'il n'y a rien entre les deux.
Ensuite, pour p et t, on sait qu'ils sont tous les deux plus grands que N. On a su aussi que p est plus petit ou égal à t. Mais strictement plus petit, ou égal ?

Si p est plus petit que t, alors il y a moins 3 tailles, puisque t est plus grand que N mais serait plus petit qu'un autre ensemble (p). L'hypothèse du continu serait alors invalide.

Mais, les 2 matheux que tu cites ont démontré que p et t ont la même taille. Donc on ne sait toujours pas si l'hypothèse du continu est vraie ou fausse.
Je croyais d'ailleurs que cette hypothèse faisait partie des indécidables. Mais je ne sais plus (et ça fait un moment que j'ai décroché).

Ai-je raté quelque chose ?
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