Probabilités encore !

[Matrok]

L'enigme posée par pelon dans le fil sur mon anniversaire et celui d'interluttant m'a rappellé un autre problème de probas "paradoxal", c'est à dire choquant pour le sens commun. En fait il s'agit de deux problèmes simples en apparence :

Problème 1

Soit une famille de trois enfants dont une fille. Quelle est la probabilité qu'il y ait trois filles ?

Problème 2

Soit une famille de trois enfants dont une fille qui s'appelle Sophie. Quelle est la probabilité qu'il y ait trois filles ?

On considèrera que pour un enfant pris isolément et sauf indication contraire, la probabilité que ce soit une fille est la même que celle que ce soit un garçon, soit 1/2.

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Solution (mais sans la démonstration, faut chercher quand même !) :

Dans le premier cas c'est 1/7 et dans le deuxième c'est 1/4.

[lallemande]

Problème 2

Soit une famille de trois enfants dont une fille qui s'appelle Sophie. Quelle est la probabilité qu'il y ait trois filles ?

En quoi le fait que la fille s'appelle Sophie a-t-il une incidence sur le calcul?
C'est dit juste pour embrouiller le profane, non? Moi, je postule que la fille pourrait tout aussi bien s'appeler Hamida ou Martine ou encore autrement... et alors j'aurai fait progresser les maths! :harhar:

[Bertrand]

Certes.

[Matrok]

Certes, certes, il y a des idées... maintenant comment les appliquer pour arriver au bon résultat ? J'attends encore un peu avant de donner la solution complète. Mais en effet le problème 2 revient au même si on remplace le prénom "Sophie" par "Cunégonde".

Je précise que les résultats "théoriques" que j'ai donné (1/7 pour le problème 1 et 1/4 pour le problème 2) sont très faciles à trouver sans calculatrice, juste avec un bout de papier et un crayon, et sans même de réflexions philosophiques poussées : Il suffit de s'en tenir aux hypothèses, et la réflexion viendra une fois la solution trouvée. Et surtout (et c'est le plus important) ce résultat "choquant" se vérifie expérimentalement avec une excellente précision !

[Barnabé]

Notations: 3 enfants (X1,X2,X3), X1 est l'ainé, X2 le deuxième enfant, X3 le cadet, X vaut F (fille) ou G (garçon) (ou S (Sophie) )
Ben pour le problème 1:
Il y a 7 possibilités d'avoir trois enfants dont au moins une fille:
(F,F,F) (F,G,F) (F,F,G) (F,G,G) (G,F,F) (G,G,F) (G,F,G)
et une seule parmi celles-là qu'il y ait 3 filles, donc probabilité 1/7

Dans le deuxième cas (avec S pour Sophie):
Il y a 12 possibilité de 3 enfants dont Sophie
(S,F,F) (S,G,F) (S,F,G) (S,G,G) (G,S,F) (G,S,G) (F,S,F) (F,S,G) (G,G,S) (F,G,S) (G,F,S) (F,F,S)
Parmi celles-là, 3 possibilités d'avoir 3 filles: (S,F,F) (F,S,F) et (F,F,S)
donc probabilités 3/12 = 1/4
cqfd

[Puig Antich]

Vous êtes fous.

[zejarda]

Donc, si l'on veux avoir plus de chance d'avoir des filles, il faut donner a ses premiers enfants des prénoms comme : dominique, claude, valerie etc ..

[Matrok]

Ben voila, Barnabé a rédigé la solution exactement comme j'envisageais de le faire.

On peut aussi expliquer le résultat en disant que s'il y a deux filles parmi les trois enfants, il est 2 fois plus probable qu'il y en ait une qui s'appelle Sophie que s'il n'y a qu'une fille, et avec trois filles c'est 3 fois plus probable. Le plus amusant c'est que ce raisonement est juste, mais dans la démonstration de Barnabé (qui est juste aussi) la probabilité du prénom Sophie n'apparaît pas. C'est parfaitement normal puisque si on en tient compte, au final elle disparaît des calculs. Par contre la démonstration faite par Barnabé fait apparaître un ordre de naissance qui ne sert en fait à rien non plus, sauf à faire apparaître clairement qu'il est 3 fois plus probable d'avoir deux filles et un garçon (ou deux garçons et une fille) que d'avoir trois filles (ou trois garçons).

C'est bizarre, je m'attendais à plus de protestations que ça sur "l'absurdité" de ce résultat. Je connais des gens plutôt bons en maths qui ont mis plusieurs jours à l'admettre !