Le dernier théorème de Fermat

[Apfelstrudel]

Sait-on jamais ? ;) ) que Wiles a utilisé des maths très récentes et très complexes, totalement inconnues de Fermat. D'ailleurs, un autre mathématicien a cru avoir démontré le théorème juste avant Wiles, en utilisant un domaine des maths très différent mais tout aussi complexe.
Fermat vivait au XVIIe siècle, à l'époque où les matématiques venaient de sortir du moyen-âge et n'étaient qu'un passe temps pour quelques mordus comme Fermat, même s'il existait une sorte d'institution plus ou moins officielle mais très petite. Il n'avait que très peu d'outils et aucun moyen technique à sa disposition. C'est à l'époque d'Euler, c'est à dire à peu près un siècle plus tard, que les maths vont passer sur le devant de la scène et susciter l'intérêt des puissants pour leur nombreuses applications pratiques.
D'ailleurs, Fermat a formulé de nombreux théorèmes en disant aux autres mathématiciens : "j'ai démontré ça, c'est très facile, je ne vous ferai pas l'offense de vous donner la démonstration", démonstration qu'il mettait à la poubelle. :hinhin: Les autres n'avaient plus qu'à montrer qu'ils pouvaient en faire autant, ce qu'il faisaient la plupart de temps. Quelques dizaines d'anées après la mort de Fermat, tous ses théorèmes avaient été démontré, sauf celui affirmant que l'équation x^n + y^n = z^n n'a pas de solutions en (x,y,z) entiers si n est supérieur ou égal à 3. Pendant trois siècles des mathématiciens ont consacré leur vie à essayer de démontrer ce théorème, les plus grands génies l'ont essayé et aucun n'a réussi à retrouvé la preuve de Fermat, qui aurait dû être très simple. Alors on peut raisonnablement penser que c'est tout simplement parce qu'elle n'existe pas.
Enfin si tu veux tu peux toujours essayer...

[com_71]

D'ailleurs, je ne sais pas si on le dit dans bouquin mais ce théorème, Wiles croyait l'avoir démontré et les premiers relecteurs étaient d'accord ... jusqu'à ce que quelqu'un trouve une faille. Désillusion terrible pour Wiles qui a du se remettre au boulot et enfin achever la démonstration.

Oui, il traite ce point, longuement.

com_71

 

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[shadoko]

Sur la preuve qu'aurait eu Fermat de son "dernier théorème", ce qui laisse penser qu'il n'avait pas la preuve de son théorème est plutôt ceci:

A l'époque de Fermat, les mathématiques n'étaient pas aussi formelles et strictes qu'aujourd'hui. C'était encore le balbutiement au niveau de la rigueur. On manipulait beaucoup de notions sans qu'elles soient très bien définies. Fermat, en particulier, utilisait un type de raisonnement (nommé "descente infinie") qui est valide dans un certain cadre, mais pas dans d'autres. Or, l'utilisation de ce raisonnement dans le cadre de son dernier théorème n'est pas valide, mais conduit bien à la conclusion recherchée. On peut donc raisonnablement penser qu'il avait une preuve ... fausse! Mais on ne peut en être sûr à 100%, il subsistera toujours un doute.

D'ailleurs, je ne sais pas si on le dit dans bouquin mais ce théorème, Wiles croyait l'avoir démontré et les premiers relecteurs étaient d'accord ... jusqu'à ce que quelqu'un trouve une faille. Désillusion terrible pour Wiles qui a du se remettre au boulot et enfin achever la démonstration.

Pour être plus précis: une démonstration comme celle de Wiles n'est pas écrite par son auteur de A à Z, dans les moindres détails. Ce serait beaucoup trop long (la démonstration sans les détails fait tout de même plusieurs centaines de pages). Certaines affirmations sont "prouvées" par des démonstrations du genre: "On fait comme ci et comme ça, on utilise tel objet et tel type de propriétés, et on obtient le résultat". C'est dans une de ces affirmations que se situait la faille. L'affirmation était juste, mais la preuve demandait d'autres arguments que ceux avancés par Wiles au premier jet. Il y avait un "problème caché", qu'il n'avait pas vu (un "trou" dans la démonstration, dans le jargon des mathématiciens). Il a donc dû, comme le dit Pelon, boucher ce trou.

Saviez-vous par exemple qui était l'inventeur des maths modernes?

Cela dépend de ce que l'on appelle les maths modernes qui ont été un peu la tarte à la crème à la fin des années 60. Pour répondre à ta question, certains disent que c'est Evariste Gallois inventeur de la théorie des groupes. Mais, au 19ème siècle, les maths ont connu une sacré accélération (non, ce n'est pas de la physique).

Il n'y a bien entendu pas "un inventeur" des maths modernes, mais des centaines, en tout cas au moins des dizaines si on se restreint aux mathématiciens de premier ordre. De tête, il me vient au moins (pas en ordre chronologique très précis):
-Leibniz
-Newton
-Fermat
-Euler
-Gauss
-Riemann
-Galois
-Cantor
-Lie
-Klein
-Poincaré
-Hilbert
-Gödel
-Kolmogorov

en arrêtant avant les années 1950 (et j'en oublie probablement certains qui sont très importants).

C'est toujours une vision assez fausse, quelle que soit la science, de penser qu'il y a eu "un inventeur" d'une période. Même quand certains ont eu une contribution particulièrement remarquable et important, ils ne sont jamais partis de zéro. Pour reprendre l'exemple de Galois, il arrive après plusieurs siècles de tentatives de résolution de certaines équations, et sa "nouvelle idée" a bénéficié de toutes les tentatives avortées précédentes (qu'il n'a pas eu à retenter). La voie avait été très dégagée.

[Bertrand]

Bon, bin finalement, tout bien réfléchi, je crois que je ne vais pas l'acheter, le livre. :sygus:

[Matrok]

Comme bouquin qui donne envie de faire des maths et d'en savoir plus sur leur histoire, il y a aussi Le Théorème du Perroquet de Denis Guedj

Je surenchéris : Ce bouquin est à conseiller à tous ceux qui n'aiment pas les maths ! C'est un roman pour les enfants au départ (ça fait dans les 300 pages quand même mais c'est lisible dès 10-12 ans environ). De mémoire, il retrace l'histoire des mathématiques à travers celle d'une famille qui hérite d'un perroquet, lequel serait le seul à connaître une démonstration de la conjecture de Goldbach. Or un mafieux sicilien complètement dingue d'Archimède veut s'emparer du perroquet ! Bref c'est un régal.

[Bertrand]

D'ac avec Matrok.
Je me souviens avoir passé un bon moment en lisant ce livre.

[lallemande]

comme bouquin qui dgonne envie de faire des maths et d'en savoir plus sur leur histoire, il y a aussi le Théorème du Perroquet de Denis Guedj, que j'ai lu il y a six mois, mais qui est sorti il y a bien plus longtemps. Saviez-vous par exemple qui était l'inventeur des maths modernes? :sleep:

Cela dépend de ce que l'on appelle les maths modernes qui ont été un peu la tarte à la crème à la fin des années 60. Pour répondre à ta question, certains disent que c'est Evariste Gallois inventeur de la théorie des groupes. Mais, au 19ème siècle, les maths ont connu une sacré accélération (non, ce n'est pas de la physique).

je pensais effectivement à Evariste Galois qui, toujours d'après ce bouquin le Théorème du Perroquet, a dû déposer et donc réécrire sa thèse trois fois de suite, car il n'avait pas encore Windows et Microsoft, et qui ne s'est pas découragé pour autant, alors que les pontes en place à l'époque à l'Académie des sciences refusaient de reconnaître ses thèses tellement elle étaient révolutionnaires (et donc ils s'acharnaient à égarer les travaux que Galois leur soumettait).
Il est mort bêtement provoqué en duel par un rival.
Il est question aussi dans ce bouquin d'une femme mathématicienne de l'Antiquité mise à mort comme libre-penseuse en Egypte (mais là il faudrait que je relise, car je ne me souviens plus de son nom)

[Sterd]

Il est question aussi dans ce bouquin d'une femme mathématicienne de l'Antiquité mise à mort comme libre-penseuse en Egypte (mais là il faudrait que je relise, car je ne me souviens plus de son nom)

Hypatie !! (facile j'ai le bouquin sous les yeux)

Signalons aussi qu'Evariste Galois était aussi un révolutionnaire, à une époque ou la classe révolutionnaire était la bourgeoisie. Il est mort à 21 ans en duel.
Une bio ici : http://www.bibmath.net/bios/index.php3?act...che&quoi=galois

Sterd

 

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[shadoko]

je pensais effectivement à Evariste Galois qui, toujours d'après ce bouquin le Théorème du Perroquet, a dû déposer et donc réécrire sa thèse trois fois de suite, car il n'avait pas encore Windows et Microsoft

Et encore aujourd'hui, pour honorer la mémoire de Galois, les mathématiciens s'abstiennent d'utiliser Microsoft Word pour écrire leurs thèses. :hinhin:

On raconte (je ne sais pas si c'est tout-à-fait exact), que Galois a couché les principales idées de ses théories sur papier la veille de son duel, par (sage) précaution. Je ne sais pas quel est le crétin qui a tué Galois, mais il aurait mieux fait de se tirer une balle dans le pied...

[com_71]

Mathématicienne révolutionnaire : Kovaleskaïa



(mais il y en a aussi de très réacs ex : Cauchy)

Kovaleskaia.rtf