la plus belle équation des maths !

par **Louis** » 11 Oct 2006, 21:16

c'est sterd qui le dit (et pour une fois je lui donne raison)

c'est la "fameuse" identité d'euler

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Alors déja, pourquoi elle est si belle, cette équation ?

Sans doute parce qu'elle réussi a relier de façon simple trois "nombres" remarquables des mathématiques :

le nombre 1 - inutile de le présenter

le nombre pi -c'est pas sorcier non plus, c'est le rapport (constant) entre la circonférence d'un cercle et son rayon

le nombre i

là, c'est plus subtil ! Le nombre i est une construction des mathématiciens qui leur permet de résoudre l'équation i = racine carré de -1

on pose i.i = -1 et le tour est joué !

et on dit que i est un nombre "imaginaire" ! on invente alors l'ensemble des nombres imaginaires, puis les nombres complexes (un nombre complexe est la somme d'un nombre imaginaire plus un nombre réel) c=a+ib -le petit i est la pour rappeler que la partie a droite du + est un nombre imaginaire )

e est "la base des logarithmes néperiens" ou logarithmes "naturels C'est la "primitive" de la fonction 1/x -la valeur de la surface quand X varie de 0 a 1 est égale a ce fameux "e"

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d'ou

ln (1) = e

le premier résultat que euler parvient a établir c'est

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d'ou il va parvenir a établir la seconde relation

si vous voulez savoir comment on établi la premiere relation, on en déduit la seconde (ou n'importe quoi d'autre) suffit de le demander a sterd (pour une explication rigoureuse) ou a moi (pour une explication moins rigoureuse)

par **zeanticpe** » 11 Oct 2006, 21:31

rien compris.
mais je demanderai pas à Ster, ca c est sur.
le e le 1 le x le cos le sin, tout va bien.
mais la ou je suis deroute c est a cause du chiffre imaginaire, (j appelais ca complexe de mon temps).
je comprends pas. Rien.

par **Louis** » 11 Oct 2006, 21:42

le nombre imaginaire i (ou j quand on est electronicien) permet de résoudre toutes les équations ou il y a une racine négative (en particulier les équations du second degré quand le discriminant est négatif)

le nombre complexe, c'est la somme d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire

cela dit peut etre que l'explication de wiki sera plus claire :

a écrit :
Lorsqu'on manipule les x d’une équation, d'une inéquation ou d'un système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu. Parfois, on arrive à la conclusion qu'un nombre satisfaisant les équations considérées n’existe pas ; prenons un exemple simple, qui va nous servir de fil conducteur : x2 + 1 = 0 ; on a donc manipulé un objet inexistant, « imaginaire ». On l’a additionné, multiplié… bien qu’il n’existe pas dans les nombres réels. On a donc parlé d'un nombre imaginaire.

Ce nombre imaginaire était censé, dans notre exemple, être l’une des deux solutions (on vérifie que, s’il y en a une, son opposé en est une aussi) d’une équation dont on sait qu’elle n’a pas de racine réelle :

x2 + 1 = 0 (1)

Donnons un nom à une solution, pour le moment imaginaire : on l'appelle i pour « imaginaire ».(Historiquement, i est l’initiale du mot « impossible » et non pas «imaginaire»)

Or, dans les calculs des algébristes italiens sur la résolution de l’équation du troisième degré ( Théorème de Cardan ), ce nombre s’élimine parfois à la fin, il n’apparaît pas dans le résultat final ; il n'aura été qu'un intermédiaire de calcul, un « catalyseur », un x manipulé comme tant d’autres. Cependant, dans d'autres cas, il subsiste : on obtient alors des expressions construites à partir de i par des additions, des multiplications avec des nombres réels, ainsi que des racines, carrées ou cubiques. Que faire de ces expressions, qui ne sont pas des nombres réels, mais semblent par ailleurs fournir des solutions, satisfaisantes du point de vue des calculs, aux équations considérées ? Peut-être les considérer comme des nouveaux nombres, non réels, imaginaires, mais d'un certain point de vue aussi valides que les nombres réels.

Cela semble suggérer de renoncer à une relation simple avec le réel :

* un nombre entier peut représenter des objets distincts (des carottes, des tomates),
* un nombre réel peut représenter les dimensions d’un objet (par exemple la diagonale d’un carré),
* le nombre i ne représente pas directement de quantité physique « simple ».

Mais le problème se présentait déjà avec les nombres entiers négatifs ou fractionnaires : on ne peut certes pas « avoir -2 carottes » ni « creuser un demi-trou ». En d’autres termes, différents types de nombres s’appliquent bien ou mal au monde de différents types de problèmes que nous désirons traiter. À ce titre, i n’est en fait ni plus ni moins imaginaire (au sens courant du terme, cette fois-ci) que -2, 1/2 ou racine de 2.

Le fait que l’on ne puisse pas associer aux nombres complexes d’intuition concrète aussi évidente que celle des entiers naturels ou des réels n’est pas gênante pour la théorie mathématique - bien qu’elle ait posé des problèmes conceptuels aux mathématiciens il y a plusieurs siècles. En effet, il est tout à fait possible de définir rigoureusement les opérations sur les nombres complexes en fonction des opérations sur les nombres réels sans devoir faire référence à une quelconque intuition.

Notons toutefois que les nombres complexes ont une utilisation en géométrie plane, et qu’ainsi on peut leur associer des concepts géométriques comme celui de point ou de vecteur du plan, ou encore les similitudes directes (les transformations géométriques qui conservent les angles, mais peuvent modifier les distances d’un certain facteur, et conservent l’orientation des figures)..

par **Sterd** » 11 Oct 2006, 21:44

(LouisChristianRené @ mercredi 11 octobre 2006 à 22:16 a écrit : Sans doute parce qu'elle réussi a relier de façon simple trois "nombres" remarquables des mathématiques

quatre

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