0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

[Sterd]

x=0,99999999...
10x=9,9999999...
10x-x=9,99999999999... - 0,999999...
9x=9
x=1

:whistling_notes:

[Thomas]

c'est là qu'il y a l'erreur, non ?

10x-x=9,99999999999... - 0,999999...
9x=9


10x-x = 9x
mais 9,9999....-0,9999...?9 ça fait un tout petit peu moins, non ?

[com_71]

Pourquoi une erreur ? Si on admet que le processus "rajouter une infinité de décimales "9" définit un nombre, cela ne peut être que "1".

[zejarda]

si l'on remplace x par (1- epsilon), ça marche?

[Sterd]

c'est là qu'il y a l'erreur, non ?

10x-x=9,99999999999... - 0,999999...
9x=9


10x-x = 9x
mais 9,9999....-0,9999...?9 ça fait un tout petit peu moins, non ?

Si on considère qu'il y a une infinité de 9 après la virgule, il n'y a aucune erreur

Sterd

 

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[shadoko]

Il n'y a pas d'erreur. Dans la représentation décimale des nombres réels, on représente un nombre par une suite (infinie) de chiffres compris entre 0 et 9, assortie d'un endroit où placer la virgule.

A chaque nombre compris, on convient d'associer une suite (pas deux), selon une procédure pas très compliquée. 0,999999999... ne fait pas partie des suites que l'on obtient comme cela.

A l'inverse, quand on part d'une suite (avec virgule), on peut trouver un nombre. Mais la suite 1,000000000... donne le même nombre que la suite 0,99999999...

Si on part d'un nombre et qu'on lui associe sa suite, puis qu'on prend la suite et on lui associe son nombre, on retrouve le nombre de départ.

A l'inverse, si on prend une suite, qu'on lui associe son nombre, qu'on prend ce nombre et qu'on lui associe sa suite, on ne retrouve pas forcément la suite de départ (c'est ce qui explique la bizarrerie de Sterd).

En termes mathématiques, on dit qu'il y a une fonction des nombres réels vers les suites (avec virgule), et une des suites (avec virgule) vers les nombres réels, mais que ce ne sont pas des bijections.

La présentation sous forme de "paradoxe" donnée par Sterd joue sur le fait que la plupart des gens pensent qu'un nombre réel "est" exactement sa représentation décimale. Mais en fait, ce n'est pas ça. La représentation décimale n'est qu'une manière de le représenter ( :hinhin: ) et pas de manière univoque (une représentation <-> un nombre).

[Jenlain]

Il n'y a pas d'erreur. Dans la représentation décimale des nombres réels, on représente un nombre par une suite (infinie) de chiffres compris entre 0 et 9, assortie d'un endroit où placer la virgule.

A chaque nombre compris, on convient d'associer une suite (pas deux), selon une procédure pas très compliquée. 0,999999999... ne fait pas partie des suites que l'on obtient comme cela.

A l'inverse, quand on part d'une suite (avec virgule), on peut trouver un nombre. Mais la suite 1,000000000... donne le même nombre que la suite 0,99999999...

Si on part d'un nombre et qu'on lui associe sa suite, puis qu'on prend la suite et on lui associe son nombre, on retrouve le nombre de départ.

A l'inverse, si on prend une suite, qu'on lui associe son nombre, qu'on prend ce nombre et qu'on lui associe sa suite, on ne retrouve pas forcément la suite de départ (c'est ce qui explique la bizarrerie de Sterd).

En termes mathématiques, on dit qu'il y a une fonction des nombres réels vers les suites (avec virgule), et une des suites (avec virgule) vers les nombres réels, mais que ce ne sont pas des bijections.

La présentation sous forme de "paradoxe" donnée par Sterd joue sur le fait que la plupart des gens pensent qu'un nombre réel "est" exactement sa représentation décimale. Mais en fait, ce n'est pas ça. La représentation décimale n'est qu'une manière de le représenter ( :D

[Sterd]

On peut faire aussi

1/3 = 0,333333333333333333333333333333333...
2/3 = 0,666666666666666666666666666666666...

0,333333333333333333333333333333333... + 0,666666666666666666666666666666666... = 0,999999999999999999999999999999999...

1/3 + 2/3 = 3/3 = 1

Je suis pas sur d'avoir tout capté le truc des suites à Shadoko. :blink:

Quand à ça :

(c'est ce qui explique la bizarrerie de Sterd)

1/ Je vois pas comment
2/ Et en plus c'est une attaque personnelle :hmpf:

[Apfelstrudel]

Le problème avec le problème de Sterd ( :smile: ), c'est que le nombre : "0,999999 neuf neuf neuf, et on continue comme ça jusqu'à l'infini" n'est pas un nombre, en tous cas pas un réel. Si on le définit proprement comme explique Shadoko comme une limite de suite (c'est ça Shadoko ? :ermm: ), ce nombre ne peut être que 1. C'est encore plus évident avec l'histoire de 1/3 et 2/3 : si on dit qu'on peut les écrire 0.3333333... et 0.6666666..., alors 1 peut tout aussi bien être écrit 0.9999999...

[shadoko]

plus rigoureusement, je ne sais pas du tout ce que ca vaut...

Disons que pour être rigoureux, il faut exactement dire ce qu'on entend par "un nombre réel". Une fois qu'on a fait ça (ça date en gros du 19ème), on peut expliquer comment on les manipule (par exemple comment on les somme ou comment on les multiplie). Ensuite, on peut expliquer une manière de les représenter. Par exemple la représentation décimale (qui est la plus commune). Et on comprend alors l'explication de ce genre de paradoxe.

A l'inverse, à l'école, on apprend d'abord les nombres entiers, puis les nombres rationnels (les fractions), puis on se met à écrire des nombres avec des virgules et expliquer en gros quelques choses dessus, et on dit: ces trucs sont des nombres réels. Mais ce n'est pas tout-à-fait vrai. Ces trucs (ces suites de chiffres avec une virgule quelque part) sont juste une manière de représenter les nombres réels (qui sont en fait définis autrement), et cette manière a le défaut de ne pas faire correspondre exactement un nombre réel (un vrai) à une suite (un comme on les apprend à l'école). Il y a en fait plusieurs suites qui correspondent au même nombre.

Par ailleurs, si je prends deux nombres réels, je peux les additionner pour trouver un troisième nombre. Je peux regarder les représentations décimales de ces trois nombres. Et je peux expliquer comment trouver la représentation décimale du troisième à partir des deux premières. C'est ce qu'on fait communément (sans le savoir) quand on additionne des nombres au lycée. Et on peut voir, juste avec ces opérations qu'il n'est pas possible qu'une seule suite corresponde à un nombre. C'est ce que montre l'exemple de Sterd.