La loi des grands nombres

[shadoko]

Oui, sûrement, c'est une remarque qui est juste, et qui éclaire un aspect de la question de Zelda, mais pas celui qui nous occupe. Zelda n'a pas posé cette question en l'air, mais en rapport avec ce qui précédait. Et je pense toujours que ce que tu décris est accessoire dans le raisonnement qui a provoqué la question de Zelda. D'ailleurs, c'est probablement pour mettre de côté à l'avance ta réponse que Zelda a précisé "dans un monde parfait".

[Apfelstrudel]

On peut contester ça en demandant quelle est la propriété intrinsèque d'obtenir pile avec une pièce truquée. En refaisant la même expérience avec la pièce truquée, on trouvera une probabilité d'obtenir pile. Mais si on modifie l'expérience, par exemple qu'on lance plus haut, ou en donnant une plus grande vitesse de rotation à la pièce, on trouvera une autre probabilité, qui risque d'être différente de la première.

Là j'ai fait une bourde en ne précisant pas que le résultat est binaire. On se place toujours dans le cas du lancer toujours identique, donc par une machine parfaite comme disait Zelda.
Pièce truquée ou pas, si on pose la pièce sur l'appareil dans un sens, et qu'on règle l'appareil d'une certaine manière (non Shadoko, je n'ai pas besoin de dire comment, c'est d'une manière quelconque :huh: ), il va y avoir un résultat, qui sera toujours le même si on répète l'expérience. Ce qui est intéressant, c'est ce qui se passe si on pose la pièce sur l'appareil dans l'autre sens : là encore le résultat sera toujours identique en recommençant, mais il sera soit inverse, soit identique au premier. Si la pièce est équilibrée, il est forcément inverse, quels que soient les paramètres choisis pour le lancer. Donc si on a le même résultats dans les deux cas, ça montre que la pièce est truquée.
Pour cette expérience, c'est à dire ces paramètres de lancer, et en faisant autant de lancers avec la pièce dans un sens ou dans l'autre, on peut définir une probabilité d'obtenir pile. Cette probabilité est soit 0, soit 0.5, soit 1.
Je ne sais pas comment justifier qu'il y ait autant de lancer pour chaque côté de la pièce sinon par le fait qu'avoir deux faces est une propriété de la pièce. Donc je décrète que dans le cadre de mon expérience, c'est comme ça point. :rtfm: Mais j'y reviens après.

Maintenant il faut sortir du cadre étroit ou on n'étudie qu'une seule combinaison des paramètres de lancer, car on n'a pas appris grand chose.
Comment être sûr qu'une pièce est équilibrée ? Elle l'est si dans toutes les expériences faites comme décrit plus haut, quels que soient les paramètres choisis, on a toujours une probabilité 1/2 d'obtenir pile. En revanche elle est truquée si certaines expériences donnent à pile une probabilité d'apparaître égale à 0 ou 1 (à priori c'est soit l'un soit l'autre pour une seule pièce mais ce n'est pas évident). Du coup, pour la pièce équilibrée, on peut dire qu'à condition de bien respecter l'égalité du nombre de "pile en haut" et "face en haut" dans la situation initiale, les caractéristiques du lancer peuvent très bien varier sans que celà change le résultat.

Dans ce cas-là, il n'y a plus besoin de machine ultrasophistiquée : il suffit de poser la pièce sur son index recroquevillé et de lui donner une pichenette avec le pouce puisqu'on n'a plus besoin de pouvoir reproduire le lancer. C'est le principe du jeu de pile ou face, sauf qu'ici il faut en plus respecter l'égalité pour la situation initiale. Alors comment prouver que la probabilité d'obtenir pile ne dépend pas non plus du côté sur lequiel on pose la pièce, puisque je sens que Shadok m'attend au tournant ? C'est impossible à faire de façon rigoureuse, il fadrait étudier mécaniquement l'infinité des lancers possibles. Ce qu'on peut dire, c'est que si les lancers sont suffisamment complexes, le résultat dépend très peu de la situation initiale, car on n'est plus dans la situation complètement théorique ou deux lancers peuvent être strictement identiques. Là, deux lancers très proches donneront des résultats inverses, ce qui fait qu'il est impossible au joueur d'attendre de meilleures chances en choisissant le sens d'exposition de la pièce.

On pourrait dire que "la probabilité est 1/2 si la complexité est suffisante pour que le joueur ne puisse pas faire de calculs". Mais c'est un raccourci qui ne doit pas faire croire que la probabilité est une mesure de notre connaissance de la situation ! Car en disant ça, on suppose simplement que le joueur va tricher, alors que les résultats de lancers trop simples faits par une machine, par exemple en exposant toujours le côté pile et en lançant la pièce pas très haut sans la faire beaucoup tourner (mais en changeant quand même à chaque fois de lancer) donnerait exactement le même résultat.

Voilà, je crois que j'ai à peu près répondu à tes questions.

[shadoko]

Pour cette expérience, c'est à dire ces paramètres de lancer, et en faisant autant de lancers avec la pièce dans un sens ou dans l'autre, on peut définir une probabilité d'obtenir pile. Cette probabilité est soit 0, soit 0.5, soit 1.
Je ne sais pas comment justifier qu'il y ait autant de lancer pour chaque côté de la pièce sinon par le fait qu'avoir deux faces est une propriété de la pièce. Donc je décrète que dans le cadre de mon expérience, c'est comme ça point.  Mais j'y reviens après.

Si je comprends bien, ta définition de la probabilité (d'avoir pile), dans ce cas, c'est le nombre de fois que tu obtiens pile sur le nombre de lancers. Et si les lancers sont vraiment identiques, effectivement, tel que tu décris les choses, on tombe toujours sur 0, 0.5 ou 1 (et le nombre qu'on trouve ne dépend que des propriétés physiques de la pièce). Note que deux lancers suffisent dans ce cas (un par côté de la pièce au départ).

Comment être sûr qu'une pièce est équilibrée ? Elle l'est si dans toutes les expériences faites comme décrit plus haut, quels que soient les paramètres choisis, on a toujours une probabilité 1/2 d'obtenir pile.
...
Dans ce cas-là, il n'y a plus besoin de machine ultrasophistiquée :

Pour faire quoi? Pour tester qu'une pièce est équillibrée (selon ta définition), ou pour utiliser une pièce qu'on sait déjà équilibrée, et faire quelque chose d'autre?

il suffit de poser la pièce sur son index recroquevillé et de lui donner une pichenette avec le pouce puisqu'on n'a plus besoin de pouvoir reproduire le lancer.

Si je suis ton raisonnement, tu dois au moins pouvoir reproduire deux fois chaque lancer (exactement), en supposant que tu es en train de tester que ta pièce est équilibrée (et si tu ne fais pas ça, je ne sais pas ce que tu fais).

C'est le principe du jeu de pile ou face, sauf qu'ici il faut en plus respecter l'égalité pour la situation initiale. Alors comment prouver que la probabilité d'obtenir pile ne dépend pas non plus du côté sur lequiel on pose la pièce, puisque je sens que Shadok m'attend au tournant ?

En fait, pour moi, à ce stade, il n'y a rien à prouver, parce que tu ne nous a pas dit ce que tu entendais par "probabilité". Je ne suis pas sûr qu'on discute de la même chose. Mais moi, en tout cas, c'est de ça que je parlais.

Ce qu'on peut dire, c'est que si les lancers sont suffisamment complexes, le résultat dépend très peu de la situation initiale, car on n'est plus dans la situation complètement théorique ou deux lancers peuvent être strictement identiques. Là, deux lancers très proches donneront des résultats inverses, ce qui fait qu'il est impossible au joueur d'attendre de meilleures chances en choisissant le sens d'exposition de la pièce.

Mais si le joueur pouvait fixer avec précision les conditions de son lancer, il pourrait prédire le résultat. Tu es donc obligé de supposer que le joueur ne le peut pas (qu'il n'a pas cette information sur son lancer).

On pourrait dire que "la probabilité est 1/2 si la complexité est suffisante pour que le joueur ne puisse pas faire de calculs". Mais c'est un raccourci qui ne doit pas faire croire que la probabilité est une mesure de notre connaissance de la situation !

En tout cas, avec une connaissance parfaite de la situation (les conditions de lancer, y compris la face exposée, comme tu dis), on connait (théoriquement) le résultat. Et il n'y a plus de probabilité.

Voilà, je crois que j'ai à peu près répondu à tes questions.

Non :hinhin: . Mais j'avoue que j'ai du mal à savoir si on discute bien de la même chose. J'ai un peu l'impression que tu pars d'une définition (laquelle?) du mot "probabilité" que tu supposes connue, pour aller je ne sais pas trop où, je n'arrive pas à comprendre exactement. Alors que je discute précisément de cette définition, ou, pour être plus précis, je sais bien ce qu'on entend mathématiquement par une probabilité, ce dont je discute c'est ce que cette chose mathématique peut bien représenter dans le monde physique.

[Apfelstrudel]

Tout ce que je cherche à montrer, c'est qu'au jeu de pile ou face, la probabilité 1/2 d'obtenir pile est bien une propriété de la pièce. Pour ça, je compare avec le cas où la pièce n'est pas équilibrée.

Si je comprends bien, ta définition de la probabilité (d'avoir pile), dans ce cas, c'est le nombre de fois que tu obtiens pile sur le nombre de lancers. Et si les lancers sont vraiment identiques, effectivement, tel que tu décris les choses, on tombe toujours sur 0, 0.5 ou 1 (et le nombre qu'on trouve ne dépend que des propriétés physiques de la pièce). Note que deux lancers suffisent dans ce cas (un par côté de la pièce au départ).

Oui, c'est ça. La probabilité d'obtenir pile, c'est la proportions de "pile" obtenus dans les conditions de l'expérience pour un grand nombre de lancers. Et effectivement, ici, deux lancers suffisent pour la connaître. Je suis content qu'on soit au moins d'accord sur un truc.

Pour faire quoi? Pour tester qu'une pièce est équillibrée (selon ta définition), ou pour utiliser une pièce qu'on sait déjà équilibrée, et faire quelque chose d'autre?

Je ne comprends pas : je pars du cas simple où la probabilité et évidente pour voir ensuite comment on peut interpréter ce qui se passe dans la situation réaliste. Qu'est ce qui devrait servir à faire quelque chose ?

En fait, pour moi, à ce stade, il n'y a rien à prouver, parce que tu ne nous a pas dit ce que tu entendais par "probabilité". Je ne suis pas sûr qu'on discute de la même chose. Mais moi, en tout cas, c'est de ça que je parlais.

Je ne comprends pas non plus. Je ne suis pas sûr effectivement qu'on discute de la même chose, j'ai l'impression que toutes tes critiques portent sur autre chose que sur mon raisonnement mais je ne saisis pas très bien.

Mais si le joueur pouvait fixer avec précision les conditions de son lancer, il pourrait prédire le résultat. Tu es donc obligé de supposer que le joueur ne le peut pas (qu'il n'a pas cette information sur son lancer).

Si le joueur est une machine ou qu'il ne regarde pas quel côté est sur le dessus, ce que tu dis tombe à l'eau. C'est un piège de raisonner à partir de ce que sait le joueur et de son envie de tricher à mon avis.

En tout cas, avec une connaissance parfaite de la situation (les conditions de lancer, y compris la face exposée, comme tu dis), on connait (théoriquement) le résultat. Et il n'y a plus de probabilité.

Idem. Ce n'est pas du tout le problème. Peu importe que l'on connaisse ou pas le résultat de l'expérience, ce n'est pas une question de point de vue. Est-ce que si deux personnes jouent à pile ou face, la probabilité va changer suivant qu'un observateur sait que la proba est 1/2, l'ignore ou est capable de prédire le résultat au geste du lanceur ? Non.

[shadoko]

Tout ce que je cherche à montrer, c'est qu'au jeu de pile ou face, la probabilité 1/2 d'obtenir pile est bien une propriété de la pièce.

Bien. Mais tu es alors d'accord que pour montrer que c'est bien une propriété de la pièce, il faut commencer par dire ce que c'est.

Oui, c'est ça. La probabilité d'obtenir pile, c'est la proportions de "pile" obtenus dans les conditions de l'expérience pour un grand nombre de lancers. Et effectivement, ici, deux lancers suffisent pour la connaître. Je suis content qu'on soit au moins d'accord sur un truc.

Dans le cas précis d'une machine parfaite qui lance systématiquement la pièce identiquement, tu as dis ce qu'était la probabilité. Et on trouve 0, 0.5 et 1.

En fait, si je résume ton raisonnement, il me semble que la seule chose que tu as expliqué est:

1. comment définir le mot "équilibré", et dans ce cas tu as convenu que la probabilité d'avoir pile était 1/2 (équilibré= pour tout lancer, selon que je pars de pile exposé ou face exposé, je tombe sur des résultats différents à l'arrivée).

2. ensuite, tu a pris une pièce équilibrée et tu as raisonné en vue de montrer que dans ce cas, si on fait des lancers quelconques, on a toujours "une probabilité" 1/2 d'avoir pile. Mais c'est une définition pour toi, alors ça ne montre pas grand-chose. Tu en fais toutefois un test pratique pour savoir si la pièce est équilibrée, ce qui n'est pas vraiment la question.

Ça ne définit pas grand-chose. Par exemple, essaie donc d'adapter ton raisonnement au cas où la pièce n'est pas équilibrée (selon ta définition). Si tu penses qu'on peut définir une probabilité d'avoir pile comme une propriété de la pièce, tu dois pouvoir le faire dans ce cas aussi. Personnellement, je vois mal ce qui peut être préservé de ton raisonnement dans ce cas.

[shadoko]

AU risque de me répéter ….

Au risque de me répéter également:

Qu’est-ce qui fait l’incertitude du lancer de pièce ? Le geste du lanceur qu’ a priori il ne maîtrise pas. S’il ne le maîtrise pas, ça veut dire qu’il est incapable de le doser de façon à favoriser la sortie de pile par rapport à face.

Ce genre d'argument va plutôt dans le sens inverse. S'il n'y avait pas d'incertitude (un robot, disons), il n'y aurait pas de probabilité au bout. C'est précisément cette incertitude (qui n'est qu'un manque d'information du lanceur sur son propre lancer) qui fait apparaître une "probabilité". Cette probabilité est la conséquence de trois choses: un ensemble de lancers possibles, la pièce, et l'information qu'on a sur le lancer (par exemple, le lancer est avec une force comprise entre tant et tant, d'une hauteur comprise entre tant et tant, avec une certaine distribution, etc...). Si je change cette information, si par exemple je précise beaucoup mieux les conditions de lancer, la probabilité change (définie comme la proportion de pile obtenus quand on fait des lancers distribués comme précisé parmi les conditions de lancer).

Si la pièce n’est pas équilibré. Je ne doute pas que si ça en valait la peine, on pourrait établir une équation assez précise liant la probabilité d’obtenir une face plutôt qu’une autre en fonction d’un déquilibre de poids déplacant son centre de gravité par rapport à son centre tout court, ou de la déformation de sa tranche, ou de la courbure de la pièce etc…

Je crois que tu n'as pas tout-à-fait saisi l'argument. Tout d'abord on voudrait définir cette probabilité avant de la lier à quoi que ce soit. Et ensuite, tout le problème est de spécifier les hypothèses sur les lancers pour lesquels ton hypothétique équation serait valable.

[shadoko]

Il me semble bien qu'en principe, pas besoin de faire des hypothèse sur la force la hauteur etc.. du lancer !

Tu en fais implicitement. Par exemple, je suppose que tu exclues les cas où le "lancer" consiste juste à poser la pièce sur la table, avec une face exposée.

On peut toujours agiter les mains en répétant des tas de fois: je fais n'importe quoi, et il va arriver n'importe quoi (avec une certaine probabilité). C'est très bien, mais ça n'aide pas beaucoup à comprendre. Il vaut mieux regarder ce qu'on fait vraiment.

Depuis le début de la discussion, je ne vois pas vraiment où tu veux en venir.

J'ai dit plusieurs fois "où je voulais en venir", dès ce message:

http://forumlo.cjb.net/index.php?showtopic...ndpost&p=215754

(c.f. la dernière phrase).

Ensuite, Apfel a développé des arguments que je ne trouve pas justes, alors j'ai répondu, c'est tout. Cela dit, je ne vais pas en faire un plat, ça n'a pas beaucoup d'importance ici.