La loi des grands nombres

[zeanticpe]

:smile:
Comment tu veux qu'on te reponde Louis?
Au hasard ou en connaissant ou en comrenant cette suite.
Bon je sais que tu as toujours de la suite dans les idées.
Alors explique....

[Louis]

c'est justement un article que j'ai entraperçu (pas eu le temps de le lire, malheureusement) dans "La Recherche" qui expliquait la difficulté a donner une déffinition rigoureuse et mathématique du "hasard" Et il expliquait justement qu'il était difficile (voir impossible, je ne me souviens pas) de dire qu'une série de chiffre était due "totalement au hasard" ou pas ! Si on prend la suite de pi, elle n'est certainement pas due au hasard n'empéche que si on lit la suite des chiffres on la croit due uniquement au "hasard"

Et c'est, il me semble, une des raisons de la discussion qui oposait shadoko et aplfelstrudel

[shadoko]

Et c'est, il me semble, une des raisons de la discussion qui oposait shadoko et aplfelstrudel

Oui, c'est lié, effectivement.

[Apfelstrudel]

Je ne sais pas si c'est lié à notre discussion, mais je pense que la question devrait plutôt être formulée comme : "cette suite de chiffres ressemble-t-elle à celle qu'on obtiendrait en tirant au hasard des chiffres de façon aléatoire avec la même probabilité à chaque fois ?" Sinon, l'expression "au hasard" ne veut pas dire grand chose.
Je crois que c'est une difficulté pour les informaticiens de produire des programmes tirant des chiffres aléatoires, et que donc ils sont réduits à fabriquer eux mêmes des listes de chiffres ou de nombres censés mimer une répartition aléatoire, ce qui doit être beaucoup plus difficile que ça en a l'air dès qu'il s'agit d'une grande suite. Dans le logiciel que j'utilisais l'année dernière en cours d'info, le nombre aléatoire qu'on tirait la première fois qu'on utilisait cette fonction était toujours le même, et la suite également. Du coup, pour tester un programme qui utilisait beaucoup cette fonction, il fallait à chaque fois que je lançais le logiciel que j'exécute la fonction un nombre de fois différents, sinon mon programme suivait exactement le même déroulement, malgré les millions d'opérations et le fait qu'il était sensé simuler des comportements entièrement aléatoires... :w00t:

[Louis]

oui, c'est un probléme, notamment en cryptographie Mais on a développé (et on continue de développer) une série d'algorithmes pour remédier autant que faire se peut a ce gros probléme Et on peut utiliser une source extérieure pour simuler un nombre pseudo aléatoire (par exemple l'horloge systéme)

[Louis]

Je ne vois pas ce que viens faire PÏ d&ans cette discussion.

Je peut te l'expliquer, sans agressivité ! On parle du "hasard" Et c'est quoi, le "hasard" ? C'est un phénoméne qui ne suis aucune loi "mesurable" Exemple : les mutations génétiques se font "au hasard" Et le nombre pi, n'est pas du tout un "hasard" : c'est un rapport constant trés connu, dont on posséde de bonnes approximations, etc Donc dans la suite des chiffres 3.1415927.... tout ça n'est pas du tout "du hasard", mais une fonction tout ce qu'il y a de déterministe... Pourtant, si on examine la suite de chiffre de pi en les prenant "a la suite", on a bien "l'impression" d'une suite de nombres pris au hasard

si on prend

169 399 375 105 820 974

et si on prend

436 542 895 443 253 206

quel est le chiffre pris au hasard, et quel est le chiffre tiré des décimales de pi ? Impossible de le savoir !

Tout ça pour dire que la notion de "hasard" n'est pas spécialement "triviale" pour les mathématiques Et que la discussion entre sadoko et apfelstrudel tenait justement a ça ! Ce que shadoko a parfaitement compris (mais en fait il etait plus "dans le moove")

NOTE : ON PEUT PARFAITEMENT SAUTER CE PASSAGE

Cela dit il y a bien un rapport direct entre le nombre "pi" et le calcul des probabilité (ton intervention m'a fait faire un "euréka" mathématique)

ça m'a rappelé la formule dite de "l'aiguille de Buffon" :

La probabilité pour qu'une aiguille de longueur 1 cm, lancée (au hasard) sur un parquet dont les lames sont larges de 2 cm coupe le bord d'une lame est de 1/PI.

Mais j'ai bien peur de tout compliquer (comme si on avait besoin de moi !)

[shadoko]

Mais cela m'évoque une autre question : Dès qu'il y a période (ou séquence qui se répète) dans un nombre, cela prouve-t-il l'absence de hasard ?

Tout d'abord, une petite remarque technique: un nombre dont l'écriture décimale (celle usuelle, avec une virgule quelque part) est périodique à partir d'un certain endroit (comme 2,3456767676767...) est un nombre rationel (la division d'un entier par un autre).

Ensuite, le hasard, on ne sait pas bien ce que c'est. Alors, pour prouver quoi que ce soit, on est bien marris. Tout ce qu'on peut faire, c'est un peu ce que disait Apfel. On peut voir si notre nombre "ressemble" à du hasard. Et par "ressembler", on entend souvent la chose suivante: on considère généralement que si je tire une suite (disons de 0 et de 1 pour faire simple) au hasard, la moyenne de ces nombres sera "proche" de 1/2. Si je prends donc une suite de 0 et de 1 dont la moyenne n'est pas du tout proche de 1/2 (comme la suite 1111111), je vais dire qu'elle ne ressemble pas du tout au "hasard". Evidemment, plus la suite est longue, plus ce genre de critère de "ressemblance" est censé être frappant. Il y a des tas d'autres indicateurs que la moyenne, mais c'est le même principe.

Sur l'exemple des décimales de Pi, on peut regarder la fréquence d'apparition de chaque chiffre (par exemple la proportion de 0 sur les 1000 premières décimales). Si c'est proche de 1/10, on trouve que ça ressemble fortement au hasard. Il se trouve que pour le nombre Pi, bien qu'on connaisse très bien des tas d'algorithmes pour générer successivement les décimales, les indicateurs que l'on teste (à ma connaissance) nous montrent qu'il ressemble au "hasard". C'est énervant.

[pelon]

Petite note pour les plus ignorants d'entre nous en mathématiques :
- un nombre rationnel est un nombre qui s'écrit comme une fraction de nombre entiers. Il peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres ( 3/4 = 0,75 ) ou pas ( 1/3 = 0,33333... ) mais dans tous les cas on trouvera une séquence périodique dans son écriture décimale, par exemple 2,47895123123123....