par shadoko » 29 Mai 2012, 17:43
Ah, je n'avais pas vu ton dernier message. D'abord, rallonger l'hirondelle ne change rien, c'est comme si on rallongeait un des trains, essentiellement. Je suppose donc, comme dans ton problème de départ, que l'hirondelle est ponctuelle (ce qui ne signifie pas qu'elle arrive à l'heure :hinhin: ).
Pour obtenir les abscisses, tu peux raisonner comme suit. Pour simplifier les calculs, je vais me placer dans le repère du premier train, mais ce n'est pas obligatoire, bien entendu. Les rencontres de l'hirondelle avec le premier train sont donc toujours à l'abscisse 0, et les rencontres avec le deuxième sont aux abscisses x_1, x_2, etc.
Je compte toutes les vitesses positivement, même si on va dans l'autre sens, je rajoute un signe dans les équations si besoin est.
v la vitesse de l'hirondelle quand elle va du premier train vers le deuxième. Ici, v=240-80=160, parce qu'on est dans le repère du premier train.
w la vitesse de l'hirondelle quand elle va dans l'autre sens, du deuxième train au premier. Ici, w=240+80 =320.
u la vitesse du deuxième train. Ici, u = 120 +80=200.
t_n le temps qui s'écoule entre le moment où l'hirondelle est au point x_n et le moment où elle est au point x_(n+1).
On exprime t_n en fonction de ce que fait l'hirondelle.
x_n/w + x_(n+1)/v = t_n
(le terme de gauche est la somme des temps de parcours du deuxième train au premier, et retour du premier train au deuxième.
On peut également l'exprimer en fonction de ce que fait le deuxième train:
(x_n- x_(n+1))/u = t_n.
On égalise les deux, ce qui permet d'exprimer x_(n+1) en fonction de x_n. On simplifie, et on trouve:
x_(n+1) = (v (w-u))/(w (v+u)) x_n = (1/6) x_n.
On a donc affaire à une suite géométrique de raison 1/6. On peut donc facilement donner une formule en fonction de n pour x_n. Le seul point qui n'est pas bien calculé est x_1. Faisons le rapidement, en calculant le temps de parcours entre le départ de l'hirondelle et le moment où elle atteint x_1, toujours de deux manières:
(d-x_1)/u = x_1/v
où d est la distance entre les deux gares. Autrement dit:
x_1= d v /(v+u) = 400/3 = 133,33...
Ensuite, x_n est donc donné par:
x_n = (1/6)^(n-1) . x_1.
Si tu veux les points dans le repère fixe avec la gare G en 0, par exemple, alors il te suffit de calculer t_n avec la formule qui le donne plus haut en fonction de x_n et x_(n+1), puis de calculer le temps T_n qui s'est écoulé avant la rencontre au point x_n, soit T_n = (x_1)/v + t_1+ ... t_(n-1). L'abscisse recherchée est alors 80 T_n + x_n. Note que tu peux avoir une formule en n pour T_n car on connaît la somme d'une série géométrique. J'ai un peu la flemme de l'écrire, mais je peux le faire si tu veux vraiment.
Si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, ça doit répondre à ta question. Non?